I'm a Leibnütz man

Eine gute Ablenkung von der Mathematik bietet das Mathematics Genealogy Project, was einen riesigen Mathematikerstammbaum pflegt, bei dem die Eltern Erst- und Zweitgutachter der Dissertation darstellen. Bei meinem Doktorvater und mir gab es dabei bislang das Problem, dass zwar noch sein Doktorvater bekannt war, dort die Spur jedoch endete. Also kein lustiges Zurückführen der eigenen mathematischen Genealogie auf Gauss, Euler oder Cauchy, im Gegensatz zum fast kompletten Rest der mathematischen Welt. 

Nun hat Springer kürzlich ältere Ausgaben der Zeitschrift Archive for Rational Mechanics and Analysis digitalisiert und dort ist insbesondere die Zusammenfassung der Dissertation von Willie Törnig zu finden, wo er erwähnt, dass die Gutachter W. König und H. Menzel von der TU Clausthal waren. Und das passt damit zusammen, dass er in Clausthal bei Wilhelm König habilitiert hat und damit ist klar, mein Urgrossvater ist ein König. Nun denn, dieser Mann hat bereits einen Eintrag im Projekt, von dort aus kann man sich also weiterklicken, landet bei Runge, einem der ersten echten Numeriker und schliesslich bei Karl Weierstrass, auch genannt Prinz der Analysis (der Fürst war ja schon durch Gauss belegt). 

Ab hier muss man die Augen zu kneifen: Weierstrass hat nie promoviert. Er war Mathematiklehrer und hat nebenbei an Mathematik geforscht und wurde durch seine Ergebnisse so berühmt, dass man ihm eine Ehrendoktorwürde verlieh. Das Genealogy Project listet hier einen Herrn Gudermann als Doktorvater. Also nicht lange fackeln und weiter geht's und nach sieben Generationen landet man bei? Herrn Friedrich Leibnütz im Jahre 1622! 

Friedrich Leibnütz; Unbekannter Maler,
via Wikimedia Commons

Das klingt nach einem Schreibfehler, aber ein Blick in die Wikipedia zeigt auch dem Ungebildeten, dass es sich um den Vater des uns allen Bekannten Leibnizes handelt. Und damit ist die wichtige Frage, die Sheldon einmal völlig empört Leonard stellt beantwortet: "Are you a Leibniz man?" Well, not quite, but at least a Leibnütz man!"

Hintergrund der Frage ist der Prioritätsstreit zwischen Newton und Leibniz über die Ersterfindung der Infinitesimalrechnung. Die Sache war schon damals klar und ist es auch heute noch: Beide haben es unabhängig voneinander mit unterschiedlichen Ansätzen selbstständig gefunden. Newton hatte seine Sachen früher, publizierte sie aber extrem lange nicht, so dass seine Publikation faktisch nach der von Leibniz erschien. Leibniz hatte dafür beispielsweise die Produktregel der Ableitung als erster. Und nochmal unabhängig von diesen beiden fand James Gregory den Hauptsatz der Analysis. 

Newton war jedoch Vorsitzender der Royal Society und liess die Frage von einer Kommission abschliessend entscheiden. Die Kommission bezichtigte Leibniz entgegen der Fakten des Plagiats, was die englische und die kontinentale Mathematik auf längere Zeit entfremden sollte. Nein, ein Newton-man will keiner sein.  

Und sonst:

• There's dancers among us!
• Langweilig. Nicht langweilig.
• Trauriges Forschungsgebiet, lustig erklärt. 

Riemann und die Habilitation

Vor einiger Zeit war ich auf einer Hochzeit eingeladen, auf der ein Mathematiker einen Cellisten heiratete. Und so sagte der Mathematiker: "Du hast mir die Schönheiten der Musik nähergebracht und ich habe versucht, Dir die Schönheiten der Mathematik näherzubringen." Ferner tat er den Anwesenden kund, dass sich eine von Riemanns Urenkelinnen unter den Gästen befände er und gerne Kontakt herstellen könne. Und so traf ich Riemanns Urenkelin. Eine wirklich nette Frau, die über ihren Urahnen bestens Bescheid wusste.

Krasse Mathematiker mit krassen Urenkelinnen

"Wen interessierts?", mögen eventuell mitlesende Biologen fragen. Wer ist denn überhaupt Riemann? Bernhard Riemann war einer der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Obwohl er nur 40 Jahre alt wurde, lieferte er zu zahlreichen Gebieten der Mathematik bahnbrechende Beiträge. Er promovierte in Göttingen bei Gauss und ist den meisten für das Riemann-Integral bekannt, das ist das mit den Ober- und Untersummen, was in der Schule typischerweise gelehrt wird.

Unter Mathematikern ist vermutlich das bekannteste die von ihm aufgestellte Riemannsche Vermutung, die immer noch nicht bewiesen ist und eines der sieben Millenium-Probleme ist, es gibt also für den Beweis oder die Widerlegung 1 Millionen Dollar. Konkret geht es um eine vermutete Abschätzung, wie Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen verteilt sind. Und da die Frage schon so lange offen ist, haben die Zahlentheoretiker mittlerweile auch schon drumrumgeforscht und die Vermutung durch schlechtere Abschätzungen ersetzt, die aber in der Praxis fast alles liefern was ein Zahlentheoretiker so braucht. Nun denn, ein weiterer Punkt sind seine Analysen nichtlinearer Riemann-Probleme, mit denen er einen wesentlichen Beitrag zum Verständnis der Navier-Stokes-Gleichungen lieferte. Mein Strömungslöser besteht im wesentlichen aus unzähligen Aufrufen so genannter approximativer Riemann-Löser, die Riemann-Probleme näherungsweise lösen.

Einem theoretischen Physiker dürfte dagegen als erste die Riemannsche Geometrie in den Sinn kommen. Diese liefert eine abstrakte und gerade deswegen extrem nützliche Beschreibung gekrümmter Flächen, die es Albert Einstein erlaubte, die allgemeine Relativitätstheorie zu formulieren. Vorgestellt hat Riemann diese 1854 in seinem Habilitationsvortrag "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen". Das verlinkte Dokument ist ein Redemanuskript, wie es von ihm damals in Göttingen vorgelesen wurde, entsprechend tauchen quasi keine Formeln auf. Unter den Zuhörern war der alternde Gauss, der sich selbst mit nichteuklidischer Geometrie beschäftigt hatte, aber mit seinen Ergebnissen dazu nie recht zufrieden war und sie nicht publizierte. Er war sehr angetan und sagte nicht wie bei manch anderer Gelegenheit, das hätte er ja schon lange in seinen Tagebüchern stehen.

Mir ist nicht klar, wie die Habilitationsordnung in Göttingen damals war. Anscheinend machte Riemann drei Themenvorschläge, von denen eines ausgewählt wurde, über das er dann vorzutragen hatte. Heutzutage ist es üblich, einen wissenschaftlichen Fachvortrag zur eigenen Forschung zu halten, sowie einen Probevortrag, bei dem die Lehrfähigkeiten der Kandidatin auf die Probe gestellt werden. Denn schliesslich geht es bei der Habilitation um die Verleihung der Lehrberechtigung ("Venia Legendi"), also muss dazu etwas vorgeführt werden. Darüberhinaus soll man zeigen, dass man zügig in fremde Themen einsteigen kann. Faktisch bedeutet das, dass man vor einem breiteren Publikum einen Vortrag hält, bei dem man die Leute nicht nach zehn, sondern nach zwanzig Minuten abhängt. Zu früh, und die didaktischen Fähigkeiten werden kritisiert, zu spät, und die mathematischen Fertigkeiten sind zu gering. Das Thema wird dabei von einer Komission ausgesucht, basierend auf Vorschlägen des Kandidaten, wobei es um Themen gehen soll, die abseits des eigentlichen Forschungsgebiets.

Ich selbst musste nur einen Probevortrag halten und durfte dann statt über diskrete Markovketten oder das mathematische Werk von Augustin Louis Cauchy, das SQP-Verfahren zum Besten geben. Und damit wurde mir, eine weitere Abstimmung das Fachbereichsrats später, tatsächlich die Habilitation zuerkannt. Eingereicht hatte ich im Januar, die Prozedur, die viele Tiefen und wenig Höhen hatte, hat also insgesamt 10 Monate gedauert.

Insofern zitiere ich einfach den ehemaligen Präsidenten der deutschen Forschungsgemeinschaft, Ernst Winnacker, der in der Zeit beklagte: "Die Habilitation, letztlich ein Herrschaftsinstrument altgedienter Professoren über den Nachwuchs, gibt es immer noch."

Und sonst:

• Alle schwindelfrei?
• Uni Hamburg steigt aus Unirankings aus
• Jean-Pierre Serre erklärt, wie man einen schlechten Matheartikel schreibt

Mit Mathematik zum NBA-Champion?

Wer die deutschen Spiele bei der Basketball-Europameisterschaft verfolgt hat, hat vielleicht bemerkt, dass Kommentator Frank Buschmann von Dirk Nowitzkis Wurf berichtete, dass dieser von Nowitzkis Mentor, Holger Geschwindner, "mathematisch" designt worden sei.

Dirk Nowitzki beim Fade away jumper;
Keith Allison; CC-by-sa 3.0

Zuerst dachte ich, dass es sich um Dirks "Signature move", den "one-legged Fade-away" handeln würde. In der Tat findet man ein Video, in dem behauptet wird, dass Dirks Wurf, wenn er sich in einem Abstand von etwa 5 Metern vom Korb befindet, hochspringt, sich zurückfallen lässt und dann vom ausgestreckten Arm aus in einem Mindestwinkel wirft, vom Gegenspieler nicht mehr geblockt werden kann. Dieser Wurf hat aber mit Geschwindner nichts zu tun, der findet den nämlich gar nicht so klasse, weil es ein Wurf ist, den man nimmt wenn sonst gar nichts mehr geht. Er ist einfach aus dem Training heraus entstanden.

In einem weiteren Artikel las ich dann folgendes:

Dirk macht Liegestützen auf den Fingerspitzen, um den Ball beim Schuss besser beschleunigen zu können und lernt eine völlig neue Wurftechnik, die Geschwindner am Schreibtisch entwickelt hat: Mit Differential- und Integralrechnung sowie etlicher Ableitungen berechnet er eine Wurfkurve, bei der der Ball selbst dann in den Korb fällt, wenn Nowitzki Fehler macht.

Das klingt ja schon ziemlich interessant, aber was soll das bedeuten? Siehe da, es gibt einen Artikel über Geschwindner in den Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung und da erklärt dieser, worum es eigentlich geht. Geschwindner hat also sogar Mathematik studiert und hat sich folgende Frage gestellt: Wie muss ein Wurf aussehen der in den Korb geht, aber bei dem ich beim Abwurf möglichst weit vom eigentlich Wurf abweichen kann, so dass der Ball immer noch in den Korb geht?

Offensichtlich optimal, nur physikalisch unmöglich ist ein Wurf, bei dem der Ball mit Einfallswinkel 90 Grad in der Mitte des Rings runterkommt. Physikalisch möglich, aber sowohl mathematisch suboptimal als auch unsinnig sind Würfe, mit kleinen Einfallswinkeln, weil dann geringe Änderungen am Wurf dazu führen können, dass der Ball auf den Ring prallt. Genauer kommt bei 45 cm Ring- und 23 cm Balldurchmesser raus, dass man einen Winkel von mindestens 32 Grad braucht, damit der Ball ohne Ringberührung in den Korb fällt. Der optimale Winkel hängt auch vom Abwurfpunkt ab und damit vom Spieler, wie groß dieser ist, wie lang die Arme und wie hoch er springen kann. Geschwindner hat dann, als er in Nowitzki ein Basketball-Jahrhunderttalent erkannte, den in dieser Hinsicht optimalen Wurf für Nowitzki hergeleitet.

Wurfparabel; Geof, CC-by-sa

Nur wie hat er das gemacht? Wie er sagt, mittels Differential- und Integralrechnung. Ich habe es jetzt nicht nachkonstruiert, aber hier meine Gedanken: Der Wurf ist eine Wurfparabel. Die erste Frage ist, von wo ich abwerfe. Der Basketball-Lehrbuchwurf ist im Nowitzki-Photo demonstriert, also von etwa überm Kopf. Daraus resultiert eine konkrete Wurfparabel für diesen Spieler und seinen Abstand vom Korb. Ob ich von rechts oder links werfe ist dabei egal. Die Eingangsgröße ist der Abwurfwinkel. Was Geschwindner nun optimiert hat, ist mir nicht ganz klar. Zum Einen könnten wir uns anschauen, wie stark sich der Auftreffpunkt ändert, wenn wir den Winkel ändern. Und zwar gibt es zwei wichtige Sachen: Den Winkel so wählen, dass wir am meisten abweichen können und dann, dass wir seitlich am meisten abweichen können. Sagen wir, wir wüssten was wir genau haben wollen.

Dann haben wir eine Funktion f(α+dα)=y, wobei α der Zielabwurfwinkel, dα die Abweichung davon und y die Abweichung des Wurfes vom Mittelpunkt des Rings ist. y darf nun nicht grösser als 10 cm sein. Gesucht ist nun der Wert dα_max in Abhängigkeit von α, bei dem y=10 cm ist, denn das ist die maximale Abweichung die wir uns erlauben können. Da die Wurfparabel eine quadratische Funktion ist, braucht man dazu nur die Mitternachtsformel und hat eine zweite Funktion dα_max(α). Die eigentliche Lösung ist dann das α, für das dα_max(α) maximal wird. Wie bestimmt man das? Hierfür braucht man die Differentialrechnung, man muss also die Ableitung der Funktion dα_max(α) bestimmen, diese Null setzen und die Nullstelle ausrechnen. Dann haben wir den schwierigen Teil hinter uns. Jetzt nur noch den optimalen Wurf zehntausend Stunden in der Turnhalle üben, damit wir das auf Weltklasseniveau hinkriegen und siehe da, wir werden NBA-MVP :-)

Wo Geschwindner noch die Integralrechnung eingesetzt hat, weiss ich nicht. Vielleicht hat er das ganze ja noch ein zweites mal mit den Navier-Stokes-Gleichungen modelliert und einen Strömungslöser drübergejagt. Wenn nicht, vielleicht wollen die Dallas Mavericks krasse Forscher mit ein paar Drittmittel versorgen?

Was wir eben gemacht haben, nennt sich übrigens mathematische Modellierung. Oder im Schuldeutsch: Offene Textaufgabe. Und wenn ihr das eben schwer fandet, dann geht es Euch so wie den meisten Deutschen, denn mangelnde Fähigkeiten in dieser Hinsicht sind mit ein Grund für das schlechte Abschneiden beim PISA-Test.

Interessant ist übrigens an der Sache, warum das nicht Standard unter Basketballprofis ist, bzw. diese Formeln Standardwerkzeuge von Basketballtrainern sind. Holger Geschwindner wurde für diese Sache nämlich eher belächelt, bis Nowitzki diesen Riesenerfolg hatte. Also: Sportler! Lernt mehr Mathe und werdet so gut wie Nowitzki!

Und sonst:

• Homöopathische Mittel in freie Umwelt gelangt. Gefahr einer katastrophalen Verdünnung immanent! Ebenfalls schön: NASA findet nur "more bloody stars".
• Hat es je einen schöneren Weg gegeben, das zählen zu lernen? (Irgendwie so in gewisser Weise via Paul Krugman). Die Sesame Street beschäftigt sich in Staffel 42 übrigens mit, was auch sonst bei der Nummer, Science, Technology, Engineerung und Math. Anders gesagt: Schwerkraft und Flugkurven sind eben nicht nur gut für Basketball, sondern auch für Comedy!
• Die Stimme habe ich sofort erkannt. Aber wer sind die verdammten Ponies?

Papier und Bleistift

Immer mal wieder werde ich gefragt, was krasse Forscher eigentlich so treiben. Und zwar zunehmend. Denn die meisten Leute können sich unter einem Studium etwas vorstellen (sowas wie Schule, nur an der Uni) und Doktorand ist einfach, da macht man halt was man so tun muss, um einen Doktortitel zu kriegen.  Aber was treibt jemand, der kein Professor ist und schon nen Doktortitel hat? Da fehlt den Leuten komplett das Bild, noch mehr bei einem Mathematiker. Biologen züchten Mäuse, Chemiker stehen am Bunsenbrenner, Physiker machen wichtige Experimente und Literaturwissenschaftler lesen. Nun, Mathematiker rechnen?!

Nein, natürlich nicht. Mathematiker machen Mathematik! Die Vorstellung dazu ist glaube ich jemand, der einsam in seinem Kämmerlein sitzt und denkt und mit Papier und Bleistift Formeln kritzelt.

Domenico Fetti: Archimedes (Denk, denk)

Nunja, da ist schon was dran. Ein wichtiger Teil der Arbeit ist das Lesen und möglichst Verstehen von Artikeln und Büchern, was häufig ohne Paper und Bleistift nicht möglich ist. Auch das Arbeiten und Umformen mit Gleichungen (unter Mathematikern häufig Rechnen genannt), um neue Sachen herzuleiten ist wichtig und war früher sicher einer der wichtigsten Punkte. Das hat sich durch den Computer etwas geändert. Und zwar erlauben numerische Verfahren, sowie Computer-Algebra-Systeme, einfach mal zu schauen wie die Landschaft überhaupt aussieht, ohne zu komplexen Gleichungen irgendwelche Lösungen auszurechnen. "Einfach mal" bedeutet hier konkret mehr oder weniger fluchende Stunden, Tage oder Wochen programmierend zu verbringen. Dieses ist nach der Literaturrecherche die wohl zweitwichtigste Arbeit. Trotz allem ist die heutige Situation kein Vergleich zur Zeit vor Computern (da war Rechner ein Beruf und kein Gerät und Numeriker bestanden nicht auf Grossrechnerzugang, sondern Zugriff auf eine grosse Zahl an Rechnerinnen), der Lochkartenära oder der Zeit vor Monitoren. Forschung ohne graphische Ausgabe kann ich mir kaum vorstellen.

Grusel: Lochkarte für eine Fortran-Zeile: Harke, CC-by-SA 3.0

Die Probleme die in der numerischen Mathematik heute erforscht werden, sind so komplex, dass zu einer erfolgreichen Forschergruppe mittlerweile semiprofessionelle Softwareentwicklung gehört, sprich Code muss gepflegt und gewartet werden, so dass die nächste Generation von Doktoranden nicht bei Null anfängt. Das erfordert Softwaredesign, Versionskontrollsysteme, eine Arbeitsgruppe mit der ich zusammenarbeite macht sogar Regression Testing. All das ist durchaus ein organisatorisches Problem, da die Dauerstellen im Mittelbau im wesentlichen gestrichen wurden, Professoren für sowas keine Zeit haben und Doktoranden ja eigentlich an ihrer Doktorarbeit arbeiten sollen.

Der nächste wichtige Aspekt sind Dienstreisen. Ohne Konferenzen und den direkten Austausch mit Kollegen wird zum Einen die eigene Forschung provinzieller bzw. weniger relevant, dazu kommt aber auch ein enormer Motivationsschub weil man sehen kann, dass die meisten anderen auch nur mit Wasser kochen. Mir macht Reisen Spass und somit ist dieser Aspekt auch einer der Gründe, warum mir der Beruf so viel Spass macht. Ach ja und warum dieser Post etwas kürzer gerät, denn zur Zeit ist Schwitzen in Kalifornien angesagt. Aber es kostet enorme Zeit: An- und Abreise ist in der Regel am Wochenende, dazu kommt die Vorbereitung der Vorträge und die Organisation solcher Reisen wird einem ebenfalls nicht abgenommen.

Dann ist da das Schreiben von Artikeln, das Planen, Durchführen, Auswerten und Visualisieren von numerischen Experimenten, die Betreuung von Diplomanden und Doktoranden, in der Freizeit Lehre und das Schreiben von Gutachten für ebenjene, sowie die Peer-Reviews. Das erstmalige Erstellen einer Vorlesung kostet pro gehaltene Stunde zwischen vier und acht Stunden Arbeit.

Wenn man bei all diesen Sachen mal die Ruhe hat, mit seinem Bleistift ein paar Schmierblätter zu füllen, dann weiss man dass man was geschafft hat.

Und sonst:

• Wer ist der sozialste Arbeitgeber in den ganzen U. S. of A.? Die linken Socken von der Armee!
• Top ten, warum es toll ist, NBA-Champion zu sein. Erklärung.
  
• Ziemlich spektakulärer Fall von versuchter Manipulation von Wikipediaartikeln durch einen Mitarbeiter seines Projekts Wiki-Watch, das sich nach Eigendarstellung des Projekts der Forschung beispielsweise zu Manipulationen von Wikipedia widmet. Gleichzeitig bietet das ganze einen recht guten Einblick in die Welt der Entscheidungsprozesse in der Wikipedia. Und der Chef des ganzen, seines Zeichens preisgekrönter Journalist und Merkelbiograph macht munter mit. 
• Druckwelle des Wandels. Interessanter Artikel von von Volker Perthes zum arabischen Frühling.

Mathematik ist ueberall

Vor ein paar Wochen hatte ich mich mit der Frage auseinandergesetzt, ob die Mathematik geeignet ist, die Welt zu erklaeren und dazu gesagt, das Mathematik unglaublich nuetzlich dafuer ist, Simulationen zu liefern, aber nicht unbedingt, um die Welt zu erklaeren. Dies fuehrte zu sehr lesenswerten Kommentaren der Maeusezuechterfraktion, in denen insbesondere gefragt wurde, wann denn die Mathematik endlich aus ihrem Elfenbeinturm komme, um ihren rechtmaessigen Platz im Kampf gegen die Unbildung aufzunehmen.

Letzte Woche war ich in Reno auf einer Konferenz zu dem, was sich heute Computational Mathematics and Engineering nennt. Kurz zu Reno: Wie Lawrence Friedman mir erklaert hat, hatte Nevada, obwohl ein Staat seit 1864, Ende des 19. Jahrhunderts unter 100.000 Einwohner. Ein Staat zu sein, bedeutete aber auch viele Freiheiten und damit wurde in Nevada im wesentlichen alles erlaubt, was in allen anderen Staaten verboten war: Unkomplizierte Heiratsschliessungen und Scheidungen, Gluecksspiel und Prostitution (Ja, in Kalifornien darf man Leute dafuer bezahlen, es miteinander zu treiben und sie dabei zu filmen, aber nicht, es mit einem selbst zu tun). Die Massnahmen griffen und so hat Nevada heutzutage eine ansehnliche Population, die aber oekonomisch fast ausschliesslich vom Tourismus abhaengt. Reno ist also wie Las Vegas, nur in haesslich und nicht in der Wueste. Und mein Laptop ist kaputt gegangen. Bin jetzt Mac-Besitzer (der Dual Core i7 im MacBook Pro hat mich schwach gemacht) und muss sagen: TeXShop begeistert.

Wie dem auch sei, die Konferenz war hochinteressant, alle haben dieselben Probleme was Softwareentwicklung im akademischen Bereich angeht und es herrscht eine gewisse Unsicherheit, wie mit der zukuenftigen Hardwareentwicklung umzugehen ist, etwa mit GPUs. Ich moechte kurz die Eingangsfrage beantworten: Mathematik ist ueberall. Das ist ein Slogan, der beispielsweise im Jahr der Mathematik benutzt wurde. Er ist abgedroschen. Aber er ist wahr.

Folgende Anwendungen wurden nur in den Vortraegen die ich besucht habe, behandelt:
-Flattern einer F-16 und wie man dies mit einem kleinen Onboard-Computer vorhersagen kann. Sauschwierig. Geht jetzt wohl mit einer iPhone-App.
-Statik beim Brueckenbau
-Simulation des Wachstums von Krebszellen (noch nicht in realistischer Weise moeglich)
-Simulation des Blutflusses im Hirn bei der Behandlung von Aneurismen (mittlerweile moeglich, das Thema fuehrte aber bei einem Anwesenden zur Ohnmacht)
-Simulation der elektrischen Stroeme in Halbleitern zwecks Chip-Design (Standard bei Infineon et. al.)
-Nukleare Reaktoren vom Tokamak-Typ. Anders gesagt: Die amerikanischen National Laboratories erhalten 100 Millionen aus dem ITER-Projekt, um bei Beginn der Experimente den Experimentatoren ueber numerische Simulationen die wichtigen Experimente nennen zu koennen, um so die Zahl der Experimente und damit Kosten und Zeit massiv zu reduzieren.
-Der Film Avatar: Die Firma Weta, die nicht nur fuer diesen Film die digitalen Effekte gemacht hat, ist bekannt dafuer, realistische digitale Effekte zu produzieren. Warum ist das so? Weil sie versuchen, die Welt durch numerische Simulation so gut wie moeglich nachzuempfinden. Grobe numerische Fluidsimulation fuer die Generation von realistisch aussehenden Wellen ist mittlerweile Standard in der Computergrafik. Ebenso bei der Darstellung von Stoff in Kleidung oder wehendem Haar. Neu bei Avatar war, dass die Gesichter der Aliens ebenfalls simuliert wurden. Hinter der Mimik steckt also ein Modell von partiellen Differentialgleichungen fuer die Mechanik der Muskeln und Knochen, gepaart mit einem Finite-Elemente-Verfahren fuer deren Loesung.
-Simulation von Oelreservoirs
-Verarbeitung von gigantischen Datenmengen am Beispiel des Planetary Skin Institutes, welches Fotos von NASA-Satelliten nutzt, die von jeden Punkt der Erde einmal am Tag ein Bild liefern, um Zeitreihen von Dingen auf der Erde zu gestalten, beispielsweise der Entwicklung von Waeldern oder Nahrungsquellen.
-Wettervorhersage (wird schon seit Ewigkeiten nicht mehr vom Wetterfrosch, sondern mittels numerischer Simulation gemacht).
-Simulation von Sonneneruptionen zur Vorhersage von magnetischen Stuermen
-Bestimmung der Flugform von Fledermausfluegeln
-Kuehlstrategien bei der Stahlumformung (ganz krasse Forscher!).
-Design von Formel-1-Autos (Dort ist numerische Stroemungssimulation mittlerweile Standard)

Diese Entwicklung wird noch laenger so weitergehen: Die bahnbrechenden Resultate der Mathematik des 20. Jahrhunderts, gepaart mit der Entwicklung von Computern erlauben es nun schon kleinen Firmen, numerische Simulationen zu verwenden. In zehn Jahren wird das Handy-Taschencomputerdingens vibrieren, wenn wir beim Rausgehen keinen Schirm dabei haben, obwohl unsere Terminkalender-Software berechnet hat, dass wir am Nachmittag im Regen auf den Bus warten werden. Die Mathematik dahinter: Nur mit Promotion in Mathematik nachvollziehbar und fuer den Anwender absolut unsichtbar.

Und mal wieder ein paar Schnipsel:

• Ein weiterer Artikel darueber, warum der Impact Factor nur den Impact Factor misst (ueber Terry Taos Blog). 
• Grandios (danke an Tim): Science-Slam-Vortrag, der richtig gut erklaert, wofuer krasse Forscher denn so grob bezahlt werden. Vom selben Typ: Kuehltuerme sind nicht nur da, um Wolken zu machen.
• Die Nachbarschaft ist ruiniert: Facebook zieht nach Menlo Park! Wie ich aus "The Social Network" erfahren habe, bedeutet das Drogen, wilde Parties und Babes!

Mathematik, das Universum und der ganze Rest

Diese Woche hatte ich die Gelegenheit, Vorträgen von Vint Cerf, einem der Väter des Internets, sowie von Shing-Tung Yau, seines Zeichens Beisitzer einer Fields-Medaille, also so etwas wie ein Mathematiknobelpreisträger, zuzuhören.

Das Timing für den Vortrag von Vint Cerf war insofern lustig, als dass ein paar Tage vorher die letzten 32-Bit-IP-Adressen vergeben worden waren. Die Entscheidung, das Internet mit 32-Bit-Adressen zu starten, ging im wesentlichen auf ihn zurück, wie er erklärte: "Ich dachte mir, lass uns einfach mal das erste Experiment mit 32-Bit machen. Wenns dann richtig losgeht, machen wirs richtig." Größeres Gelächter im Saal. Interessant fand ich, dass verschiedene Aspekte der Offenheit des Internets darauf zurückgehen, dass es ein militärisches Projekt war. So war etwa klar, dass nationale IP-Adressen im Falle einer US-Invasion in einem anderen Land nicht besonders praktisch gewesen wären.

Auch spannend war, dass mobiles Internet über Radio von Anfang an mit dabei war. Nur, die Idee, dass jemand Computer mit sich rumtragen würde, die dann zwischendrin ihre IP-Adresse wechseln würden, hatte keiner. Interessant auch der Sicherheitsaspekt, den er als einen der großen Herausforderungen des aktuellen Internets sah. Public Key Kryptography war damals zwar bereits konzipiert worden, eine Implementierung fehlte aber, weswegen das Internet gestartet wurde, ohne das dies ein integraler Bestandteil war. Bzw. er selbst kannte aufgrund von Beratertätigkeiten für die NSA praktikable bereits implementierte Verschlüsselungstechniken, dürfte diese jedoch nicht weitererzählen.

Shing-Tung Yau wiederum ist berühmt für seine Arbeiten zur Mathematik der allgemeinen Relativitätstheorie. Konkret hat er durch Konstruktion der so genannten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten die Calabi-Vermutung beweisen können. Diese Mannigfaltigkeiten sind einfach gesprochen komplizierte Flächen, die es erlauben, Lösungen der einsteinschen Feldgleichungen zu konstruieren, bei denen man Gravitation hat, aber keine Masse (eben die Calabi-Vermutung, dass solche Lösungen existieren). Die Existenz solcher Lösungen gibt der Stringtheorie Nährboden, bei der man davon ausgeht, dass neben den vier sichtbaren Dimensionen (drei im Raum, eine in der Zeit), weitere existieren (typischerweise sechs), die "aufgerollte" Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind, die deswegen nicht sichtbar sind. Der Punkt dabei ist, dass sich Naturgesetze in dieser Theorie aus der Geometrie der Extradimensionen ergeben, was in der Folge erklären würde, warum die Naturgesetze so sind wie sie sind und auch die berühmte GUT liefern würde, mit der man allgemeine Relativitätstheorie und Quantenmechanik unter einen Hut bringen könnte.

Klingt alles also erstmal super, nur sind bis heute sind viele mathematische und physikalische Fragen unklar. Beipielsweise ist unbekannt, ob es unendlich viele Calabi-Yaus gibt, was damit die Suche nach der konkreten Calabi-Yau, mit der unser Universum beschrieben wird, schwierig gestaltet. Insbesondere gibt es bisher kein Experiment, mit dem die Stringtheorie bestätigt werden könnte und mit bestehenden Messmethoden sieht es ziemlich mau aus. Aber wie Yau sagte: "Beautiful mathematics". Was mich dazu verleiten könnte, mal meine Meinung zur reinen Mathematik zu sagen, aber statt dessen möchte ich zum eigentlichen Thema kommen. Was ist das eigentlich mit der Mathematik und der Welt?

Manche Physiker sagen: "Warum ist Mathematik so verblüffend gut geeignet, Physik zu beschreiben? Sollte uns das nicht irgendetwas über die Welt sagen?"

Ich beschäftige mich seit mittlerweile über zehn Jahren mit der Simulation von Luftströmungen. Grundlage all dessen sind die Navier-Stokes-Gleichungen, die in einer der größten naturwissenschaftlichen Leistungen des 19. Jahrhunderts von einer längeren Reihe von berühmten Physikern und Mathematikern gefunden und dann vernünftig hergeleitet wurden. Vernünftig heißt hier, dass die Sache an einer Stelle immer noch unbefriedigend ist. Die Gleichungen sind also seit 150, 200 Jahren bekannt. Ich schreibe jetzt meine Habilitation über bestimmte Aspekte der numerischen Behandlung dieser Gleichungen. Das Clay-Institut hat vor zehn Jahren 1 Million Dollar für einen Beweis der Existenz und Eindeutigkeit differenzierbarer Lösungen der Gleichungen in drei Dimensionen ausgelobt. Die Forschung zu diesen Gleichungen ist breit, es gibt unzählige offene Fragen und alles deutet darauf hin, dass es noch mindestens die nächsten 50 Jahre genug zu tun gibt. Laplace hat das ganze mal sehr gut auf den Punkt gebracht: "Die Natur lacht über die Schwierigkeiten der Integration."

Die von mir genannte Forschung wird im wesentlichen von Maschinenbauern und Mathematikern betrieben. Physiker beschäftigen sich seit längerem mit anderem. Man könnte meinen: Mit dem Aufstellen der Gleichungen sei das Problem gelöst. Und, sobald man sich nicht mit der Frage, wie denn nun eigentlich Lösungen der Gleichungen aussehen, auseinandersetzen muss, sieht das ganze auch bestimmt schön aus. Nur: Für die Navier-Stokes-Gleichungen ist eine Lösungsformel extrem unwahrscheinlich und es ist wie gesagt noch unklar, was für Eigenschaften die Lösungen denn nun genau haben. Es bleibt also die Frage, wie man effizient gute Näherungslösungen der Gleichungen liefern kann. Oder noch anders gesagt dass Problem, dass eine mathematische Beschreibung von Naturgesetzen nicht bedeutet, dass man plötzlich eine einfache Handhabe hätte.

Wenn Mathematik also so gut geeignet ist, Naturgesetze zu beschreiben, dann sagt das meiner Meinung nach mehr über die Naturgesetze aus, die aufgestellt werden. Denn: Mathematik ist menschengemacht. Schon so etwas einfaches wie die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) ist sehr abstrakt. Wenn ich drei Äpfel betrachte, wird jeder dieser Äpfel einzigartig und verschieden von den anderen sein. Für die meisten Umstände wird aber die Beschreibung "3 Äpfel" völlig ausreichend sein. Kinder begreifen das Zahlkonzept sehr früh. Dies gilt nicht für beliebige mathematische Konzepte. Während sich Kinder viele abstrakte Denkweisen im Laufe der Zeit ohne größere Probleme aneignen (Volumina, Addieren und Substrahieren, ...) erfordert ein Großteil der Mathematik oberhalb der Grundschule echte Anstrengung. Oder, wie es ein Kollege von mir mal treffend formulierte: "Math hurts your brain." Recht hat er.

Die Evolution hat uns also gewisse mathematische Grundkenntnisse mitgeliefert wie Zählen oder etwas Geometrie. Die meisten Sachen scheinen aber nicht dazu zu gehören, egal ob ich nun von partiellen Differentialgleichungen oder algebraischer Geometrie rede. Genauer gesagt gibt es Forscher, die sagen, dass das Denken in Wahrscheinlichkeiten dem menschlichen Gehirn schwerfällt und verweisen insbesondere auf bedingte und relative Wahrscheinlichkeiten (Beispiel).

Damit wir uns nicht falsch verstehen: Ich denke dass Mathematik die beste Sprache zur Beschreibung naturwissenschaftlicher Phänomene ist, die uns zur Verfügung steht. Und die Bedeutung wird im Laufe der nächsten Jahrhunderts nur steigen. Aber die eigentliche Frage ist doch: Welches Wissen über unser Universum ist der Mensch überhaupt in der Lage, zu formulieren und zu verstehen? Und wie weit hilft einem Mathematik auf diesem Weg?

Ansonsten:

• Was war 1986 das Gerät, dass in der Summe am meisten zur weltweiten Rechenleistung beigetragen hat? Die Crays? PCs? Nein, Taschenrechner!
• Sehr interessant: The Kings Speech
• Scientific Peer Review, 1945 (Für Deutsche am Besten ohne Ton)