Montag, 14. Februar 2011

Mathematik, das Universum und der ganze Rest

Diese Woche hatte ich die Gelegenheit, Vorträgen von Vint Cerf, einem der Väter des Internets, sowie von Shing-Tung Yau, seines Zeichens Beisitzer einer Fields-Medaille, also so etwas wie ein Mathematiknobelpreisträger, zuzuhören.

Das Timing für den Vortrag von Vint Cerf war insofern lustig, als dass ein paar Tage vorher die letzten 32-Bit-IP-Adressen vergeben worden waren. Die Entscheidung, das Internet mit 32-Bit-Adressen zu starten, ging im wesentlichen auf ihn zurück, wie er erklärte: "Ich dachte mir, lass uns einfach mal das erste Experiment mit 32-Bit machen. Wenns dann richtig losgeht, machen wirs richtig." Größeres Gelächter im Saal. Interessant fand ich, dass verschiedene Aspekte der Offenheit des Internets darauf zurückgehen, dass es ein militärisches Projekt war. So war etwa klar, dass nationale IP-Adressen im Falle einer US-Invasion in einem anderen Land nicht besonders praktisch gewesen wären.

Auch spannend war, dass mobiles Internet über Radio von Anfang an mit dabei war. Nur, die Idee, dass jemand Computer mit sich rumtragen würde, die dann zwischendrin ihre IP-Adresse wechseln würden, hatte keiner. Interessant auch der Sicherheitsaspekt, den er als einen der großen Herausforderungen des aktuellen Internets sah. Public Key Kryptography war damals zwar bereits konzipiert worden, eine Implementierung fehlte aber, weswegen das Internet gestartet wurde, ohne das dies ein integraler Bestandteil war. Bzw. er selbst kannte aufgrund von Beratertätigkeiten für die NSA praktikable bereits implementierte Verschlüsselungstechniken, dürfte diese jedoch nicht weitererzählen.

Shing-Tung Yau wiederum ist berühmt für seine Arbeiten zur Mathematik der allgemeinen Relativitätstheorie. Konkret hat er durch Konstruktion der so genannten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten die Calabi-Vermutung beweisen können. Diese Mannigfaltigkeiten sind einfach gesprochen komplizierte Flächen, die es erlauben, Lösungen der einsteinschen Feldgleichungen zu konstruieren, bei denen man Gravitation hat, aber keine Masse (eben die Calabi-Vermutung, dass solche Lösungen existieren). Die Existenz solcher Lösungen gibt der Stringtheorie Nährboden, bei der man davon ausgeht, dass neben den vier sichtbaren Dimensionen (drei im Raum, eine in der Zeit), weitere existieren (typischerweise sechs), die "aufgerollte" Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind, die deswegen nicht sichtbar sind. Der Punkt dabei ist, dass sich Naturgesetze in dieser Theorie aus der Geometrie der Extradimensionen ergeben, was in der Folge erklären würde, warum die Naturgesetze so sind wie sie sind und auch die berühmte GUT liefern würde, mit der man allgemeine Relativitätstheorie und Quantenmechanik unter einen Hut bringen könnte.

Klingt alles also erstmal super, nur sind bis heute sind viele mathematische und physikalische Fragen unklar. Beipielsweise ist unbekannt, ob es unendlich viele Calabi-Yaus gibt, was damit die Suche nach der konkreten Calabi-Yau, mit der unser Universum beschrieben wird, schwierig gestaltet. Insbesondere gibt es bisher kein Experiment, mit dem die Stringtheorie bestätigt werden könnte und mit bestehenden Messmethoden sieht es ziemlich mau aus. Aber wie Yau sagte: "Beautiful mathematics". Was mich dazu verleiten könnte, mal meine Meinung zur reinen Mathematik zu sagen, aber statt dessen möchte ich zum eigentlichen Thema kommen. Was ist das eigentlich mit der Mathematik und der Welt?

Manche Physiker sagen: "Warum ist Mathematik so verblüffend gut geeignet, Physik zu beschreiben? Sollte uns das nicht irgendetwas über die Welt sagen?"

Ich beschäftige mich seit mittlerweile über zehn Jahren mit der Simulation von Luftströmungen. Grundlage all dessen sind die Navier-Stokes-Gleichungen, die in einer der größten naturwissenschaftlichen Leistungen des 19. Jahrhunderts von einer längeren Reihe von berühmten Physikern und Mathematikern gefunden und dann vernünftig hergeleitet wurden. Vernünftig heißt hier, dass die Sache an einer Stelle immer noch unbefriedigend ist. Die Gleichungen sind also seit 150, 200 Jahren bekannt. Ich schreibe jetzt meine Habilitation über bestimmte Aspekte der numerischen Behandlung dieser Gleichungen. Das Clay-Institut hat vor zehn Jahren 1 Million Dollar für einen Beweis der Existenz und Eindeutigkeit differenzierbarer Lösungen der Gleichungen in drei Dimensionen ausgelobt. Die Forschung zu diesen Gleichungen ist breit, es gibt unzählige offene Fragen und alles deutet darauf hin, dass es noch mindestens die nächsten 50 Jahre genug zu tun gibt. Laplace hat das ganze mal sehr gut auf den Punkt gebracht: "Die Natur lacht über die Schwierigkeiten der Integration."

Die von mir genannte Forschung wird im wesentlichen von Maschinenbauern und Mathematikern betrieben. Physiker beschäftigen sich seit längerem mit anderem. Man könnte meinen: Mit dem Aufstellen der Gleichungen sei das Problem gelöst. Und, sobald man sich nicht mit der Frage, wie denn nun eigentlich Lösungen der Gleichungen aussehen, auseinandersetzen muss, sieht das ganze auch bestimmt schön aus. Nur: Für die Navier-Stokes-Gleichungen ist eine Lösungsformel extrem unwahrscheinlich und es ist wie gesagt noch unklar, was für Eigenschaften die Lösungen denn nun genau haben. Es bleibt also die Frage, wie man effizient gute Näherungslösungen der Gleichungen liefern kann. Oder noch anders gesagt dass Problem, dass eine mathematische Beschreibung von Naturgesetzen nicht bedeutet, dass man plötzlich eine einfache Handhabe hätte.

Wenn Mathematik also so gut geeignet ist, Naturgesetze zu beschreiben, dann sagt das meiner Meinung nach mehr über die Naturgesetze aus, die aufgestellt werden. Denn: Mathematik ist menschengemacht. Schon so etwas einfaches wie die natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) ist sehr abstrakt. Wenn ich drei Äpfel betrachte, wird jeder dieser Äpfel einzigartig und verschieden von den anderen sein. Für die meisten Umstände wird aber die Beschreibung "3 Äpfel" völlig ausreichend sein. Kinder begreifen das Zahlkonzept sehr früh. Dies gilt nicht für beliebige mathematische Konzepte. Während sich Kinder viele abstrakte Denkweisen im Laufe der Zeit ohne größere Probleme aneignen (Volumina, Addieren und Substrahieren, ...) erfordert ein Großteil der Mathematik oberhalb der Grundschule echte Anstrengung. Oder, wie es ein Kollege von mir mal treffend formulierte: "Math hurts your brain." Recht hat er.

Die Evolution hat uns also gewisse mathematische Grundkenntnisse mitgeliefert wie Zählen oder etwas Geometrie. Die meisten Sachen scheinen aber nicht dazu zu gehören, egal ob ich nun von partiellen Differentialgleichungen oder algebraischer Geometrie rede. Genauer gesagt gibt es Forscher, die sagen, dass das Denken in Wahrscheinlichkeiten dem menschlichen Gehirn schwerfällt und verweisen insbesondere auf bedingte und relative Wahrscheinlichkeiten (Beispiel).

Damit wir uns nicht falsch verstehen: Ich denke dass Mathematik die beste Sprache zur Beschreibung naturwissenschaftlicher Phänomene ist, die uns zur Verfügung steht. Und die Bedeutung wird im Laufe der nächsten Jahrhunderts nur steigen. Aber die eigentliche Frage ist doch: Welches Wissen über unser Universum ist der Mensch überhaupt in der Lage, zu formulieren und zu verstehen? Und wie weit hilft einem Mathematik auf diesem Weg?

Ansonsten:
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