Montag, 26. September 2011

Mit Mathematik zum NBA-Champion?

Wer die deutschen Spiele bei der Basketball-Europameisterschaft verfolgt hat, hat vielleicht bemerkt, dass Kommentator Frank Buschmann von Dirk Nowitzkis Wurf berichtete, dass dieser von Nowitzkis Mentor, Holger Geschwindner, "mathematisch" designt worden sei.

Dirk Nowitzki beim Fade away jumper;
Keith Allison; CC-by-sa 3.0


Zuerst dachte ich, dass es sich um Dirks "Signature move", den "one-legged Fade-away" handeln würde. In der Tat findet man ein Video, in dem behauptet wird, dass Dirks Wurf, wenn er sich in einem Abstand von etwa 5 Metern vom Korb befindet, hochspringt, sich zurückfallen lässt und dann vom ausgestreckten Arm aus in einem Mindestwinkel wirft, vom Gegenspieler nicht mehr geblockt werden kann. Dieser Wurf hat aber mit Geschwindner nichts zu tun, der findet den nämlich gar nicht so klasse, weil es ein Wurf ist, den man nimmt wenn sonst gar nichts mehr geht. Er ist einfach aus dem Training heraus entstanden.

In einem weiteren Artikel las ich dann folgendes:
Dirk macht Liegestützen auf den Fingerspitzen, um den Ball beim Schuss besser beschleunigen zu können und lernt eine völlig neue Wurftechnik, die Geschwindner am Schreibtisch entwickelt hat: Mit Differential- und Integralrechnung sowie etlicher Ableitungen berechnet er eine Wurfkurve, bei der der Ball selbst dann in den Korb fällt, wenn Nowitzki Fehler macht.
Das klingt ja schon ziemlich interessant, aber was soll das bedeuten? Siehe da, es gibt einen Artikel über Geschwindner in den Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung und da erklärt dieser, worum es eigentlich geht. Geschwindner hat also sogar Mathematik studiert und hat sich folgende Frage gestellt: Wie muss ein Wurf aussehen der in den Korb geht, aber bei dem ich beim Abwurf möglichst weit vom eigentlich Wurf abweichen kann, so dass der Ball immer noch in den Korb geht?

Offensichtlich optimal, nur physikalisch unmöglich ist ein Wurf, bei dem der Ball mit Einfallswinkel 90 Grad in der Mitte des Rings runterkommt. Physikalisch möglich, aber sowohl mathematisch suboptimal als auch unsinnig sind Würfe, mit kleinen Einfallswinkeln, weil dann geringe Änderungen am Wurf dazu führen können, dass der Ball auf den Ring prallt. Genauer kommt bei 45 cm Ring- und 23 cm Balldurchmesser raus, dass man einen Winkel von mindestens 32 Grad braucht, damit der Ball ohne Ringberührung in den Korb fällt. Der optimale Winkel hängt auch vom Abwurfpunkt ab und damit vom Spieler, wie groß dieser ist, wie lang die Arme und wie hoch er springen kann. Geschwindner hat dann, als er in Nowitzki ein Basketball-Jahrhunderttalent erkannte, den in dieser Hinsicht optimalen Wurf für Nowitzki hergeleitet.

Wurfparabel; Geof, CC-by-sa
Nur wie hat er das gemacht? Wie er sagt, mittels Differential- und Integralrechnung. Ich habe es jetzt nicht nachkonstruiert, aber hier meine Gedanken: Der Wurf ist eine Wurfparabel. Die erste Frage ist, von wo ich abwerfe. Der Basketball-Lehrbuchwurf ist im Nowitzki-Photo demonstriert, also von etwa überm Kopf. Daraus resultiert eine konkrete Wurfparabel für diesen Spieler und seinen Abstand vom Korb. Ob ich von rechts oder links werfe ist dabei egal. Die Eingangsgröße ist der Abwurfwinkel. Was Geschwindner nun optimiert hat, ist mir nicht ganz klar. Zum Einen könnten wir uns anschauen, wie stark sich der Auftreffpunkt ändert, wenn wir den Winkel ändern. Und zwar gibt es zwei wichtige Sachen: Den Winkel so wählen, dass wir am meisten abweichen können und dann, dass wir seitlich am meisten abweichen können. Sagen wir, wir wüssten was wir genau haben wollen.

Dann haben wir eine Funktion f(α+dα)=y, wobei α der Zielabwurfwinkel, dα die Abweichung davon und y die Abweichung des Wurfes vom Mittelpunkt des Rings ist. y darf nun nicht grösser als 10 cm sein. Gesucht ist nun der Wert dαmax in Abhängigkeit von α, bei dem y=10 cm ist, denn das ist die maximale Abweichung die wir uns erlauben können. Da die Wurfparabel eine quadratische Funktion ist, braucht man dazu nur die Mitternachtsformel und hat eine zweite Funktion dαmax(α). Die eigentliche Lösung ist dann das α, für das dαmax(α) maximal wird. Wie bestimmt man das? Hierfür braucht man die Differentialrechnung, man muss also die Ableitung der Funktion dαmax(α) bestimmen, diese Null setzen und die Nullstelle ausrechnen. Dann haben wir den schwierigen Teil hinter uns. Jetzt nur noch den optimalen Wurf zehntausend Stunden in der Turnhalle üben, damit wir das auf Weltklasseniveau hinkriegen und siehe da, wir werden NBA-MVP :-)

Wo Geschwindner noch die Integralrechnung eingesetzt hat, weiss ich nicht. Vielleicht hat er das ganze ja noch ein zweites mal mit den Navier-Stokes-Gleichungen modelliert und einen Strömungslöser drübergejagt. Wenn nicht, vielleicht wollen die Dallas Mavericks krasse Forscher mit ein paar Drittmittel versorgen?

Was wir eben gemacht haben, nennt sich übrigens mathematische Modellierung. Oder im Schuldeutsch: Offene Textaufgabe. Und wenn ihr das eben schwer fandet, dann geht es Euch so wie den meisten Deutschen, denn mangelnde Fähigkeiten in dieser Hinsicht sind mit ein Grund für das schlechte Abschneiden beim PISA-Test.

Interessant ist übrigens an der Sache, warum das nicht Standard unter Basketballprofis ist, bzw. diese Formeln Standardwerkzeuge von Basketballtrainern sind. Holger Geschwindner wurde für diese Sache nämlich eher belächelt, bis Nowitzki diesen Riesenerfolg hatte. Also: Sportler! Lernt mehr Mathe und werdet so gut wie Nowitzki!

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