Trifft Dich der Tsunami?

Die Frage, wann ein Tsunami, der an einem bestimmten Ort ausgelöst wurde, eine Küste erreicht, kann mit heutigen Frühwarnsystemen recht gut beantwortet werden. Kalifornien hatte etwa zehn Stunden Zeit, sich vorzubereiten. Das reicht, um in Ruhe zu frühstücken, ein Mittagessen, eine gemütliche Fahrt zum Strand, um dann pünktlich zum Eintreffen des Tsunamis das ganze Spektakel zu beobachten oder, wie im Falle des einzigen Opfers in Kalifornien, den letzten Schnappschuss seines Lebens zu tätigen. Reif für den Darwin-Award.

Am Tag des Tsunamis produzierten die Kollegen vom NOAA Center for Tsunami Research bereits das folgenden Video.

Wie man sieht, ist die Frage, ob ich von einem Tsunami getroffen werde, nicht so klar zu beantworten, da die Frontwelle durch Inseln gestört, reflektiert und überlagert wird, siehe etwa die Antarktis in diesem Fall oder Teile Chiles.

Ich dachte mir, ich versuche mal zu erklären, wie solche numerischen Simulationen eigentlich gemacht werden. Dies ist auch ein Versuch, mathematische Sachen ohne Formeln zu erklären. Nicht, weil ich das für besonders dufte halte, sondern weil Blogger leider nichts bereitstellt, um vernünftig Formeln einzugeben. Deswegen wieder mal ne Umfrage, bitte beantworten.

Erster Schritt einer Simulation ist die Frage, welche physikalischen Gleichungen dem ganzen zu Grunde gelegt werden sollen. Als Standardgleichungen zur Beschreibung der Ausbreitung eines Tsunamis haben sich mittlerweile die so genannten Flachwassergleichungen etabliert. Diese wurden im 19. Jahrhundert vom Franzosen St. Venant aufgestellt, heißen deswegen in Frankreich auch St.-Venant-Gleichungen und stellen eine Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen unter bestimmten Annahmen dar. Nicht ganz überraschend war St. Venant am Prozess der Identifikation der Navier-Stokes-Gleichungen als Modell für Fluide beteiligt, eine der, wie treue Birchlogleser wissen, grössten wissenschaftlichen Leistungen des 19. Jahrhunderts. Die Flachwassergleichungen beschreiben, wie der Name schon andeutet, die Ausbreitung von Wellen in flachen Gewässern in Abhängigkeit vom Bodenprofil. Für Leute, die beim Anblick von Formeln nicht gleich zu Lesen aufhören, findet sich eine interessante Herleitung durch Terry Tao hier.

Spätestens hier dürften die meisten allerdings sagen: Was haben flache Gewässer mit Tsunamis im Pazifik zu tun, der immerhin elf Kilometer tief ist? Nun, hier kommt eine der Modellannahmen ins Spiel, unter der die Gleichungen aus den Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet wurden: Die Wellenlänge muss im Vergleich zur Tiefe groß sein. Eine typische Wasserwelle hat eine Wellenlänge von 100 Metern, eine Tsunamiwelle dagegen jedoch von 200 Kilometern (!), was im Vergleich zur Bodentiefe des Pazifiks groß ist. Anders gesagt: Für den Tsunami ist der Pazifik flach. Zumindest bis er an den Strand kommt, woraufhin er alles kaputt macht.

Hat man sich für eine Gleichung entschieden, muss man Daten bereitstellen, hier das Bodenprofil des Pazifiks, die Küstenlinien und Anfangsdaten wie initiale Wellengeschwindigkeiten. Diese sind nicht exakt bekannt, insbesondere ist das mit den Messstationen im Pazifik so eine Sache, dazu aber später mehr.

Schließlich kommt die so genannte Diskretisierung. Exakte Lösungsformeln für die Flachwassergleichungen gibt es nicht. Darüberhinaus hat der Pazifik als mathematisches Gebiet betrachtet unendlich viele Punkte und damit unendlich mehr als in den Speicher eines Computers passen. Entsprechend muss eine endliche Zahl (deswegen diskret) von Punkten im Ozean ausgewählt werden (entsprechend des Bodenprofils, der Küstenlinie), mit denen im Folgenden gearbeitet wird. Damit muss nun ein Kompromiss zwischen Genauigkeit und Aufwand geschlossen werden. Gleichzeitig müssen es mindestens so viele Punkte sein, dass die relevanten Phänomene überhaupt dargestellbar sind. Eine normale Wasserwelle ist bei einer Auflösung von einem Kilometer gar nicht sichtbar. Freak Waves sowieso nicht. Eine Tsunamiwelle ist dagegen sogar bei einer geringeren Auflösung sichtbar. Das ist gut, denn bei einem Kilometer Auflösung, also einem Punkt pro Quadratkilometer wären das schon 500 Millionen Unbekannte für diese Simulation. Hinweis: Auf jedem Punkt brauchen wir zwei Geschwindigkeitskomponenten, sowie den Druck). Bei 10 Kilometern Auflösung immerhin noch 5 Millionen, das geht problemlos auf einem kleinen Cluster.

Die diskrete Auswahl der Punkte hat ein weiteres Problem beschert: Die Flachwassergleichungen sind ein System von, jetzt kommts, hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen, was mathematisch dafür ist, dass sie Wellenphänomene beschreiben. Der entscheidende Punkt ist, dass das Wort Differentialgleichung davon kommt dass Differentiale, also Ableitungen auftauchen. Und zwar im Raum und in der Zeit. Die Ableitung beschreibt die Steigung einer Funktion in einem Punkt. Punkte haben wir nach der eben getätigten Auswahl aber nur noch endlich viele und Funktionen gibt es überhaupt nicht mehr, eben weil die Punkte diskret sind.

Ableitung, CC-by-sa 3.0, Honina

Schaut man sich die obige Grafik an, wird klar, dass ich in unserem Fall in Ermangelung der Zwischenpunkte nicht von einer Sekante zur Tangente übergehen kann, indem ich den rechten Punkt auf den linken zulaufen lasse. Allerdings kann ich einfach eine Sekante durch zwei gegebene Punkte als Annäherung der Tangenten nehmen! Das nennt sich Finite-Differenzen-Verfahren. Etwas intelligenter als diese erste Idee sind Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Verfahren, wobei sich letztere sehr gut für die Flachwassergleichungen eignen. Sobald eine dieser Konstruktionen sowohl auf die Raum- als auch auf die Zeitableitungen angewandt wurde, ist eine, zugegebenermassen ziemlich komplizierte, Vorschrift vorhanden, wie sich die Informationen etwa zu den Wellengeschwindigkeiten mit der Zeit näherungsweise verändern. Diese programmiert man, füllt sie mit Anfangsdaten und lässt das ganze laufen.

Wie weiß man nun, ob das ganze bei all diesen Vereinfachungen und Approximationen etwas mit der Realität zu tun hat? Die penible Antwort des Mathematikers ist: Genau weiß man es nicht. Nötig wäre für jeden der genannten Schritte eine Aussage, wie groß der entstandene Fehler ist. Nur, wie groß ist der Modellierungsfehler dadurch, dass statt der Navier-Stokes-Gleichungen die viel einfacheren Flachwassergleichungen verwendet wurden? Durch das Ignorieren des Wetters und alleinige Betrachten des Wassers? Wie ist es mit den Messfehlern im Bodenprofil und den anderen Anfangsdaten? Und die Approximation der Ableitungen? Zumindest zu letzterem gibt es mathematische Aussagen, die so etwas sagen wie: Packe mehr Punkte in die Gegend von Japan. Nur ist das manchmal gar nicht möglich oder sinnvoll, weil die dortigen Daten zu fehlerbehaftet sind. Die Kollegen vom NOAA benutzen beispielsweise "Nested Grids", das heisst wenn sie küstennahe Gebiete simulieren, werden unter die bisherigen Punkte viel feiner aufgelöste weitere Gitter gelegt. Alles in allem müssen letztlich Vergleiche mit realen Daten gemacht werden, die Simulation muss validiert werden. Konkret heisst das also, vorab Rechnungen durchzuführen, bei denen mit bereits vorhanden Tsunamidaten verglichen werden kann.

Und das ist die Antwort des Ingenieurs: Über die Validierung kann eine Simulationssoftware soweit mit der Realität abgeglichen werden, dass man ihr vertrauen kann. Beispielsweise werden Flugzeuge heutzutage vollständig am Rechner entwickelt. Ein Gegenbeispiel war der Vulkanausbruch im April: Die von einer Londoner Meteorologengruppe bereitgestellten Schätzungen, wo sich die Aschewolke befindet, waren erheblich fehlerhaft. Ohne detaillierte Wetterdaten und in Ermangelung von Daten, wie sich Asche in dieser speziellen Zusammensetzung in der Luft ausbreitet, waren sie chancenlos, genaue Vorhersagen zu liefern. Nur ärgerlich, dass dies in der Presse nicht aufgenommen wird. Ist eben wie die Wahlumfragen, bei denen die Ungenauigkeit standardmässig nicht mitgeteilt wird. Meiner Meinung nach fahrlässige Irreführung.

Was ist nun, wenn die Validierung ergibt, dass die Simulation fehlerhaft ist? Dann muss man die vorherigen Schritte nochmal durchgehen und überlegen, wo etwas falsch gemacht wurde. Wurde in den Modellgleichungen etwas wesentliches vergessen? Waren die Daten zu schlecht? Zu wenig Punkte? Das Verfahren zur Approximation der Ableitungen ungenügend? Dann gilt es, nachzubessern und erneut zu validieren.

Ansonsten:

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